堆排序 Heap Sort

　　堆排序是一种选择排序，其时间复杂度为O(nlogn)。

堆的定义

　　n个元素的序列{k₁，k₂，…,k_n}当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆。

　　情形1：k_i <= k_2i 且k_i <= k_2i+1 （最小化堆或小顶堆）

　　情形2：k_i >= k_2i 且k_i >= k_2i+1 （最大化堆或大顶堆）

　　其中i=1,2,…,n/2向下取整;

     

                 

 

　　若将和此序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。

　　由此，若序列{k₁，k₂，…,k_n}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。

　　例如，下列两个序列为堆，对应的完全二叉树如图：

　　

 

　　若在输出堆顶的最小值之后，使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为堆排序。

　　堆排序（Heap Sort）只需要一个记录元素大小的辅助空间（供交换用），每个待排序的记录仅占有一个存储空间。

 

堆的存储

　　一般用数组来表示堆，若根结点存在序号0处， i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。

　　（注：如果根结点是从1开始，则左右孩子结点分别是2i和2i+1。）

　　如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

　　如最大化堆如下：

 　　

 

　　左图为其存储结构，右图为其逻辑结构。

堆排序的实现

　　实现堆排序需要解决两个问题：

　　　　1.如何由一个无序序列建成一个堆？

　　　　2.如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？

 

　　先考虑第二个问题，一般在输出堆顶元素之后，视为将这个元素排除，然后用表中最后一个元素填补它的位置，自上向下进行调整：首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较，把最小的元素交换到堆顶；然后顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子结点，就得到新的堆。

　　我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

　　从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。

构造初始堆

　　初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。

　　最后一个非终端元素的下标是[n/2]向下取整，所以筛选只需要从第[n/2]向下取整个元素开始，从后往前进行调整。

　　比如，给定一个数组，首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。

　　然后从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换，交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质，所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。

进行堆排序

　　有了初始堆之后就可以进行排序了。

　　堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。

　　排序开始，首先输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，这样，第n个位置（即最后一个位置）作为有序区，前n-1个位置仍是无序区，对无序区进行调整，得到堆之后，再交换堆顶和最后一个元素，这样有序区长度变为2。。。

　　不断进行此操作，将剩下的元素重新调整为堆，然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1，有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1，排序完成。

堆排序实例

 　　首先，建立初始的堆结构如图：

　　

　　然后，交换堆顶的元素和最后一个元素，此时最后一个位置作为有序区（有序区显示为黄色），然后进行其他无序区的堆调整，重新得到大顶堆后，交换堆顶和倒数第二个元素的位置……

　　

　　重复此过程：

　　

 

　　最后，有序区扩展完成即排序完成：

　　

 

　　由排序过程可见，若想得到升序，则建立大顶堆，若想得到降序，则建立小顶堆。

代码

　　假设排列的元素为整型，且元素的关键字为其本身。

　　因为要进行升序排列，所以用大顶堆。

　　根结点从0开始，所以i结点的左右孩子结点的下标为2i+1和2i+2。

 

//堆筛选函数//已知H[start~end]中除了start之外均满足堆的定义//本函数进行调整，使H[start~end]成为一个大顶堆typedef int ElemType;void HeapAdjust(ElemType H[], int start, int end){    ElemType temp = H[start];    for(int i = 2*start + 1; i<=end; i*=2)    {        //因为假设根结点的序号为0而不是1，所以i结点左孩子和右孩子分别为2i+1和2i+2        if(i
      
        H[i])//左右孩子中获胜者与父亲的比较        {            break;        }        //将孩子结点上位，则以孩子结点的位置进行下一轮的筛选        H[start]= H[i];        start = i;            }    H[start]= temp; //插入最开始不和谐的元素}void HeapSort(ElemType A[], int n){    //先建立大顶堆    for(int i=n/2; i>=0; --i)    {        HeapAdjust(A,i,n);    }    //进行排序    for(int i=n-1; i>0; --i)    {        //最后一个元素和第一元素进行交换        ElemType temp=A[i];        A[i] = A[0];        A[0] = temp;        //然后将剩下的无序元素继续调整为大顶堆        HeapAdjust(A,0,i-1);    }}
      

 

堆排序分析

　　堆排序方法对记录数较少的文件并不值得提倡，但对n较大的文件还是很有效的。因为其运行时间主要耗费在建初始堆和调整建新堆时进行的反复“筛选”上。

　　堆排序在最坏的情况下，其时间复杂度也为O(nlogn)。相对于快速排序来说，这是堆排序的最大优点。此外，堆排序仅需一个记录大小的供交换用的辅助存储空间。

 

　　参考资料：

　　严蔚敏《数据结构》